BIT Hacks - 자연수 승수 계산을 비트연산으로 빠르게 하는 법

자연수 승수 연산에 한해, 비트연산 트릭을 활용하여 C++에서 기본으로 제공하는 pow() 함수보다 빠르게 계산하는 방법을 알아봅니다.

TL;DR

double pow_int(double base, int exp)
{
    double result = 1.;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1)
            result *= base;
        exp >>= 1;
        base *= base;
    }
    return result;
}

원리

실수 $a$와 자연수 $n$에 대하여, $a^n$을 계산하는 경우를 살펴보겠습니다.

여기서 $n$은 2진법 변환을 통해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$n = \sum_{i=0} b_i 2^i \text{, where }b_i=0 \text{ or }1$$

위 식을 이용하면 $a^n$은 다음과 같이 변형됩니다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} a^n & = a^{\sum_{i=0} b_i 2^i} \\ & = \prod_{i=0} {a^{b_i 2^i}} \text{ (} \because x^{m+n} = x^m x^n \text{)} \\ & = \prod_{i=0} ({a^{2^i}})^{b_i} \text{ (} \because x^{mn} = (x^m)^n \text{)} \\ & = (b_0 \times a) \times (b_1 \times a^2) \times (b_2 \times (a^2)^2) \times (b_3 \times ((a^2)^2)^2) \times … \end{aligned} \end{equation} $$ 이 식의 의미를 해석해보면 다음과 같습니다.

1. $n$을 2진법으로 나타내었을 때 낮은 자리수부터 확인($b_0, b_1, …$)

2. 매 $b_i$를 확인할 때마다, $a, a^2, (a^2)^2, …$의 형태로 계속 제곱해 나감

3. $b_i$가 0이면 그냥 넘어가고,

   $b_i$가 1이면 2에서 구한 $a^{2^i}$를 누적하여 곱함

예시

$3^5$를 계산해보겠습니다. 여기서 $a=3$이고, $n=5$가 됩니다.

1. 먼저, $n$을 2진법으로 변환하여 $b_i$들을 구합니다.

   $$n=5=1+4=1\times2^0+0\times2^1+1\times2^2$$

   $$\text{i.e. }b_0=1 \text{, } b_1=0 \text{, } b_2 = 1 \text{, and } b_k = 0 \text{ for }k>=3$$

2. 이제 낮은 자리 수부터 확인하며 누적곱 작업을 수행합니다. 누적곱의 초기 값은 곱셈의 항등원인 1로 설정합니다.

   • $a$는 3입니다.

     $b_0$을 확인합니다. $b_0$가 $1$이므로, 1에 3을 곱합니다.

     결과는 3이 됩니다.

   • $a^2$는 9입니다.

     $b_1$을 확인합니다. $b_1$가 $0$이므로, 아무것도 곱하지 않습니다.

     결과는 여전히 3입니다.

   • $(a^2)^2$는 81입니다.

     $b_2$을 확인합니다. $b_2$가 $1$이므로, 3에 81을 곱합니다.

     결과는 243이 됩니다.

   • 이후의 $b_k$들은 모두 $0$이므로 최종 결과는 243입니다.

코드로의 적용(C++)

위 내용을 코드로 변환하면 다음과 같습니다.

변수명의 의미를 고려하여, 위 식에서 $a$를 base로, $n$을 exp로 명명하였습니다.

double pow_int(double base, int exp)
{
    double result = 1.;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1)
            result *= base;
        exp >>= 1;
        base *= base;
    }
    return result;
}

1. 누적곱을 수행하기 위한 result 변수의 초기 값을 곱셈의 항등원인 1로 설정합니다.

2. exp 값이 유효한 동안 while 반복문을 수행합니다.

   1. exp를 2진법으로 표현하였을 때 의 가장 낮은 자리수를 구합니다. (exp & 1)

      만약 이 값이 1이라면, $b_i$가 1인 경우에 해당합니다. 따라서, 현재의 base 값을 result에 누적하여 곱합니다.

      만약 이 값이 0이라면, $b_i$가 0인 경우에 해당합니다. 따라서 result에 아무것도 곱하지 않고 넘어갑니다.

      예를 들어, exp의 $b_0$ 값이 1이었다면, while 반복문을 맨 처음 수행할 때 이 if 조건이 참이 되어, result *= base; 구문이 수행되고, 위 설명에서 $a$를 곱해주는 것과 동일한 작업이 이루어집니다.

   2. exp를 오른쪽으로 한 칸 비트시프트를 수행합니다. (exp >>= 1;)

      이를 통해, 방금 살펴본 $b_i$가 버려지고, 그 다음 자리에 해당하는 $b_{i+1}$이 가장 낮은 자리로 옮겨지는 과정이 반복됩니다.

   3. base를 제곱합니다. (base *= base;)

      이를 통해 $(…(a^2)^2)…)^2$에 해당하는 반복 연산이 수행됩니다.

3. 최종적으로 누적곱이 수행된 결과를 반환합니다. (return result;)

pow() 함수와의 비교용 예시 코드

코드

#include <iostream>

double pow_int(double base, int exp)
{
    double result = 1.;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1)
            result *= base;
        exp >>= 1;
        base *= base;
    }
    return result;
}

int main()
{
    const int N = 100000000;
    double base = 12.345;
    int exp = 67;
    double result1, result2;

    std::cout << base << "^" << exp << "\n\n";

    auto startT1 = clock();
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        result1 = pow(base, exp);
    auto endT1 = clock();
    std::cout << "Calculated by pow() function\n";
    std::cout << "Answer: " << result1 << "\n";
    std::cout << "Elapsed time: " << (endT1 - startT1) << " ms\n\n";
    
    auto startT2 = clock();
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        result2 = pow_int(base, exp);
    auto endT2 = clock();
    std::cout << "Calculated by pow_int() function\n";
    std::cout << "Answer: " << result2 << "\n";
    std::cout << "Elapsed time: " << (endT2 - startT2) << " ms\n\n";

    return 0;
}

결과

i5-9500 @ 3.00GHz 기준